Глава I - Поиск родственных задач

Разбор темы и примеров:

Задачи для самостоятельного решения:


Комментарии

  • Задача №4.

    Решите уравнение `(x^2+x-3)^2+2x^2+2x-5=0`.

    Решение:

    1. Задачу будем решать по тем указаниям, которые мы получили в начале главы. Попробуем найти родственную задачу.

    2. Первоначально мы имеем уравнение `4`-ой степени (после раскрытия скобок), что мы не совсем умеем решать, кроме частных случаев.

    3. Прежде чем раскрывать скобки, увидим, что при правильной замене наше уравнение превращается в квадратное, а квадратные мы умеем решать!

    4. Некоторые поспешат и сделают замену `x^2+x=t`, получив уравнение `(t-3)^2+2t-5=0`.

    5. Немного оптимальнее сделать замену `x^2+x-3=t`.

    Уравнение `t^2+2t+1=0`,

    `(t+1)^2=0 iff t=-1`,

    `x^2+x-3=-1`,

    `x^2+x-2=0`,

    `x_1=1, x_2=-2`.

    Ответ: `x=-2;1`.

  • Задача №3.

    Докажите, что `n(n+1)(n+2)` делится на 6 при любом целом `n`.

    Решение:

    1. Снова воспользуемся указаниями из начала главы! Тут можно разбить задачу на две подзадачи.

    2. Делимость на `6` эквивалентна делимости на `2` и `3`. Если мы доказываем делимость на `6`, то необходимо и достаточно доказать делимость на `2` и на `3`!

    3. Понятие необходимости и достаточности очень важное! Это больше логический инструмент, который используется почти по всех математических задачах.

    4. Делимость на `2` очевидна, поскольку даже среди двух соседних чисел `n` и `n+1` одно будет четным. Четность `n+2` роли не играет.

    5. Делимость на `3` следует из того, что среди любых трех последовательных чисел хотя бы одно делится на `3`. Как это строго доказать, кроме ссылки на очевидность?

    Например: если `n` дает остаток `0` при делении на `3`, то произведение делится на `3`.

    Если `n` дает остаток `1`, то `n+2` делится на `3`, а значит и произведение делится на `3`.

    Если `n` дает остаток `2`, то `n+1` делится на `3`, вместе с произведением.

    Делимость на `2` доказана, делимость на `3` доказана, числа `2` и `3` взаимно-простые, отсюда следует делимость и на `6`.

Войдите или Зарегистрируйтесь чтобы комментировать.