Глава I - Поиск родственных задач
Раздел: Канель-Белов/Ковальджи
Разбор темы и примеров:
Задачи для самостоятельного решения:
Войдите или Зарегистрируйтесь чтобы комментировать.
Комментарии
Задача №4.
Решите уравнение `(x^2+x-3)^2+2x^2+2x-5=0`.
Решение:
1. Задачу будем решать по тем указаниям, которые мы получили в начале главы. Попробуем найти родственную задачу.
2. Первоначально мы имеем уравнение `4`-ой степени (после раскрытия скобок), что мы не совсем умеем решать, кроме частных случаев.
3. Прежде чем раскрывать скобки, увидим, что при правильной замене наше уравнение превращается в квадратное, а квадратные мы умеем решать!
4. Некоторые поспешат и сделают замену `x^2+x=t`, получив уравнение `(t-3)^2+2t-5=0`.
5. Немного оптимальнее сделать замену `x^2+x-3=t`.
Уравнение `t^2+2t+1=0`,
`(t+1)^2=0 iff t=-1`,
`x^2+x-3=-1`,
`x^2+x-2=0`,
`x_1=1, x_2=-2`.
Ответ: `x=-2;1`.
Задача №3.
Докажите, что `n(n+1)(n+2)` делится на 6 при любом целом `n`.
Решение:
1. Снова воспользуемся указаниями из начала главы! Тут можно разбить задачу на две подзадачи.
2. Делимость на `6` эквивалентна делимости на `2` и `3`. Если мы доказываем делимость на `6`, то необходимо и достаточно доказать делимость на `2` и на `3`!
3. Понятие необходимости и достаточности очень важное! Это больше логический инструмент, который используется почти по всех математических задачах.
4. Делимость на `2` очевидна, поскольку даже среди двух соседних чисел `n` и `n+1` одно будет четным. Четность `n+2` роли не играет.
5. Делимость на `3` следует из того, что среди любых трех последовательных чисел хотя бы одно делится на `3`. Как это строго доказать, кроме ссылки на очевидность?
Например: если `n` дает остаток `0` при делении на `3`, то произведение делится на `3`.
Если `n` дает остаток `1`, то `n+2` делится на `3`, а значит и произведение делится на `3`.
Если `n` дает остаток `2`, то `n+1` делится на `3`, вместе с произведением.
Делимость на `2` доказана, делимость на `3` доказана, числа `2` и `3` взаимно-простые, отсюда следует делимость и на `6`.