Глава I - Поиск родственных задач

admin · Февраль 2020

Разбор темы и примеров:

Задачи для самостоятельного решения:

admin · Февраль 2020

Задача №4.

Решите уравнение $(x^2+x-3)^2+2x^2+2x-5=0$ .

Решение:

1. Задачу будем решать по тем указаниям, которые мы получили в начале главы. Попробуем найти родственную задачу.

2. Первоначально мы имеем уравнение $4$ -ой степени (после раскрытия скобок), что мы не совсем умеем решать, кроме частных случаев.

3. Прежде чем раскрывать скобки, увидим, что при правильной замене наше уравнение превращается в квадратное, а квадратные мы умеем решать!

4. Некоторые поспешат и сделают замену $x^2+x=t$ , получив уравнение $(t-3)^2+2t-5=0$ .

5. Немного оптимальнее сделать замену $x^2+x-3=t$ .

Уравнение $t^2+2t+1=0$ ,

$(t+1)^2=0 iff t=-1$ ,

$x^2+x-3=-1$ ,

$x^2+x-2=0$ ,

$x_1=1, x_2=-2$ .

Ответ: $x=-2;1$ .

admin · Февраль 2020

Задача №3.

Докажите, что $n(n+1)(n+2)$ делится на 6 при любом целом $n$ .

Решение:

1. Снова воспользуемся указаниями из начала главы! Тут можно разбить задачу на две подзадачи.

2. Делимость на $6$ эквивалентна делимости на $2$ и $3$ . Если мы доказываем делимость на $6$ , то необходимо и достаточно доказать делимость на $2$ и на $3$ !

3. Понятие необходимости и достаточности очень важное! Это больше логический инструмент, который используется почти по всех математических задачах.

4. Делимость на $2$ очевидна, поскольку даже среди двух соседних чисел $n$ и $n+1$ одно будет четным. Четность $n+2$ роли не играет.

5. Делимость на $3$ следует из того, что среди любых трех последовательных чисел хотя бы одно делится на $3$ . Как это строго доказать, кроме ссылки на очевидность?

Например: если $n$ дает остаток $0$ при делении на $3$ , то произведение делится на $3$ .

Если $n$ дает остаток $1$ , то $n+2$ делится на $3$ , а значит и произведение делится на $3$ .

Если $n$ дает остаток $2$ , то $n+1$ делится на $3$ , вместе с произведением.

Делимость на $2$ доказана, делимость на $3$ доказана, числа $2$ и $3$ взаимно-простые, отсюда следует делимость и на $6$ .

Глава I - Поиск родственных задач

Комментарии