Главный секрет повышения уровня до нулевика

admin

Вступление

Под нулевиком подразумевается тот, кто решает задачи IMO уровня 0-1. Подробнее тут.

Вообще, в школьной математике я бы выделил следующие уровни:

1. Счет, решение текстовых задач, логика - программа до 5-6 класса.
2. Математический язык, абстракции, уравнения, преобразования, планиметрия - программа до 9 класса.
3. Физмат уровень. То же самое, что в пункте 2, только повышенной сложности.
4. Олимпиадник.

От физмата до олимпиадника базового уровня один шаг. Но олимпиадные задачи разной сложности, существует много внутренних уровней, и развитие внутри этого уровня мы обсудим в этой теме.

Первое, почва должна быть плодородной. Иначе говоря, первые три уровня (до физмата включительно) должны быть пройдены своевременно, успешно и без провалов. Это фундамент.

Что такое сложная задача

Что такое простая задача? Набор простых действий, произведенных в правильном порядке.

Что такое сложная задача? Набор простых задач, решенных в правильной последовательности.

На уровне даже IMO не существует мегасложных задач, решение которых требует чего-то особого. Это всего лишь набор других задач. Количество методов и приемов всегда ограничено. Умение понять, какие приемы применять на том или этапе, и как связывать эти этапы между собой, вполне возможно в себе развить.

Важность отработки пройденного материала

Я всегда говорил и говорю, что качественно разобранная задача важнее 10 поверхностно пройденных. Но сам не понимал, насколько важнее! Пока не убедился на своем опыте разборе задач, об этом подробнее в следующих пунктах.

Теперь я переформулирую важность отработки: разница призера IMO и туриста = разница в умении осваивать пройденный материал. На самом деле это не разница умного и тупого. Хорошо пройти задачу = забить/вбить большой гвоздь до самой шляпки, вбить его по самые помидоры. Кто-то может забить гвоздь быстрее, кто-то медленнее, кто-то попадет по пальцу, кто-то погнет гвоздь, но результат должен быть один - гвоздь глубоко в бревне, что не вытащить ничем! Это важнее, чем условные понятия умный/тупой и так далее.

Итак, ключевая разница олимпиадников не в их уме, не в материалах, которые они прошли, а в том, насколько глубоко они их поняли на этапе решения/разбора/отработки.

Теперь, самое важное определить правильную глубину понимания/разбора. Об этом далее.

Примеры

Во время IMO 2019 и пару недель после него я решал задачи самой олимпиады и шортлист прошлого года. По ТЧ у меня единичка, по Алгебре тройка, остальные разделы и раньше знал слабо, а сейчас забыл. Решал для того, чтобы понять, какие сейчас задачи дают на IMO, возможно ли к ним подготовиться, и как эту возможность реализовать.

Решил 5 задач по ТЧ из шортлиста прошлого года, а также 2 задачи из шортлиста этого года (другие еще не видел). На одну задачу тратил от 2 до 4 часов, с учетом оформления. Результат меня не совсем устроил, особенно по затраченному времени. Но главное, что я понял, почему я смог решить задачи (какие методы применял), почему у меня возникали те или иные проблемы, и почему уходило столько времени.

Пример 1: шортлист 2017, желтая задача (тройка) с простыми числами, N5.

Найти все пары `(p,q)` простых чисел `p>q`, для которых выражение:

`((p+q)^(p+q)(p-q)^(p-q)-1)/((p+q)^(p-q)(p-q)^(p+q)-1)`

является целым.

Примерно за 15 минут я понял, что нужно вводить новое простое число, которое является делителем знаменателя, а значит и числителя + комбинировать это с малой теоремой Ферма. Примерно 2 часа потребовалось на реализацию метода (без особой уверенности), еще час ушел на то, чтобы почистить шероховатости и оформить. Три часа на задачу, которую могли дать в P2 или P5 это много, есть еще две задачи, а времени всего 4.5 часа. При этом я не был уверен в правильности выбранного метода, поскольку он вроде дал хорошие результаты, но не решил проблему целиком, пришлось применять еще один нетривиальный прием.

Главный вывод: я плохо владею методом ввода нового простого числа с комбинацией малой теоремы Ферма. В свое время я его прошел (это мне и позволило понять, что стоит применить этот прием, который получил развитие в решении), но недостаточно глубоко. Если бы я идеально владел этим методом, то смог бы задачу решить и оформить за 1.5 часа, максимум. И, главное, уверенно!

Пример 2: P4 этого года. Средняя задача, тройка.

Найти все пары `(k,n)` натуральных чисел, таких, что

 `k! =(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)...(2^n-2^(n-1))`.

Я построил стандартное решение, основанное на делимости на максимальную степень двойки и неравенствах. 2 часа на решение + оформление. Но использование степени тройки (метод спуска LTE) сокращало решение в разы - максимум 1 час. Вывод - не умею использовать метод LTE. Использование метода LTE в этой задаче даже без особых знаний в ТЧ (в целом) дало бы быстрое решение. В 2018 году использование LTE тоже сокращало решение в разы.

Пример 3: шортлист этого года.

Решить уравнение в натуральных числах:

`a^3+b^3+c^3=a^2b^2c^2`.

Примерно за 30 минут понял, что все сводится к семейству решений линейного уравнения вида `ax-by=c^3`, где `a,b,c` взял за параметры. Далее выписываем эти семейства и применяем неравенства и простые свойства делимости. Ушло примерно 3 часа. Вывод - плохо зафиксировал в свое время линейные уравнения в целых числах, да и в неравенствах в целых числах немного плаваю.

Через пару недель я попробовал решил аналогично похожую задачу, которую решал много лет назад, другим методом:

`x^3+y^3+z^3=4xyz`, тоже в натуральных числах.

По идее, задача проще, но у меня не получилось применять тот же метод и им же дорешать! Следовательно, метод можно закрепить на нормальном уровне, но все равно обломаться на самой олимпиаде. Нормальный уровень не подходит, нужна максимальная глубина.

К примерам я также добавлю интервью двух золотых медалистов прошлых лет, которые подтвердили мою теорию.

Правильная глубина понимания/разбора (погружения)

Раньше я это описывал так (задачи не для самостоятельного решения, а для разбора) - пробуем решить задачу, не более 10 минут. Далее разбор авторского решения. Переписываем одновременно с разбором, стараемся понять все переходы и примененные приемы. Далее, пишем решение начисто, типа сами решаем. Если возникли проблемы, смотрим решение, снова разбираем. При необходимости записываем решение в третий раз. Тогда задача считается пройденной.

Для самостоятельных задач - если решили, то все ок, задача пройдена.

Теперь я понял, что данная инструкция верна лишь частично. Она не дает правильную глубину для подавляющего числа школьников (гениев в расчет не берем). У способных к математике людей мышление и скорость усвоения в среднем одинаковая, плюс-минус.

1. Все используемые факты/теоремы надо досконально знать, понимать и уметь быстро доказывать. Например, LTE, малую теорему Ферма, теорему Вильсона и кучу всего другого. На 1-2 курсах матанализ так и изучают.
2. Если задача решена самостоятельно, то она еще не пройдена. Надо изучить авторское решение, закрепить его, и желательно еще 1-2 других решения.
3. Если задача не решена самостоятельно (попытки заняли 30 минут), необходимо изучить авторское решение, вплоть до запятых, закрепить многократно, а также изучить несколько других решений. Задача считается пройденной, когда вы можете моментально записать несколько разных решений с закрытами глазами или продиктовать решение вслух, держа все переходы в своей башке. Это же касается и задач из пункта 2. Например, хоть я и решил ряд задач ТЧ из шортлистов, половину своих решений я уже помню не на все 100 и не смогу быстро их реализовать.
4. На самом деле наш мозг способен на многое, просто мы часто ленимся увеличить его передачи, перейти с 1 на 3. Лень двигатель эволюции.
5. Идеально пройденная задача стоит десятка задач, пройденных по старой схеме (запись 2-3 раза). Одна задача по старой схеме стоит десятка задач, пройденных поверхностно.

Амир, самый ленивый IMOшник, которого я видел (после Сыймыка, чемпиона мира по лени), говорил - типа не смогу делать связки, не могу решать ТЧ. Получать факты, связывать их и так далее. Путаюсь.

На самом деле проблема у Амира в ТЧ связана с тем, что он поленился в свое время пройти ТЧ на нормальной глубине. Тогда бы автоматом решилась бы и проблема нахождения правильных фактов и связывания их в единое целое. Методов и приемов на самом деле не так много, как кажется.

Еще раз про важность + теорема

1. 70% - правильная глубина разбора.
2. 20% - ум/способности.
3. 10% - правильная последовательность материалов.

Теорема: за 9 месяцев можно ТЧ/Алгербу вывести на нулевой уровень.

Теорема и все вышесказанное точно верны по отношению к ТЧ и Алгебре. По комбинаторике и геометрии могут быть особые случаи и дополнения.

Правильная глубина дает не только возможности для решения, но и скорость! Не забываем, что 1 задачу надо решать в течение часа, вторую в течение двух, а третью как получится.

В дальнейшем, при подготовке учеников к IMO, первые две недели будем ставить только правильную глубину разбора решений, следующие две недели настраивать и только потом пойдет полноценная работа. На форуме выложу несколько полностью раздетых решений, а также подобный принцип используем в материалах, которые будем постепенно публиковать в нашей LMS (сейчас в разработке).

Схематичный пример прокачки ТЧ

Ученик уровня физмат:

1. Месяц для основ ТЧ: 80 базовых задач на разбор, базовые свойства и теоремы с доказательством, тренировка правильной глубины разбора решений. 80 часов или 20 дней по 4 часа. Зачет из 20 простых задач для самостоятельного решения + дальнейший разбор.
2. 2 месяца для среднего уровня: 80 задач уровня 2-3 по проблемс.ру на разбор, все остальные свойства и теоремы из ТЧ с доказательством, доводка правильный глубины. 150 часов или 50 дней по 3 часа. Зачет из 20 средних задач для самостоятельного решения + дальнейший разбор.
3. 3 месяца для задач уровня 3+ IMO: 80 задач с идеальным разбором. 250 часов или 80 дней по 3 часа (в день по задаче).
4. 1 месяц для самостоятельного решения задач уровня 3+ IMO. 20 задач, по 4 часа на задачу. 2 часа решаем задачу сами, 2 часа разбираем решение.
5. 2 месяца. 40 задач уровня 0-3. 2 часа на попытку, 3 часа на разбор.

Итого 340 задач, 800 часов.

Скоро обновим тему...